Κυριακή, 15 Οκτωβρίου 2017

Πρωτοι ,Τριγωνικοι και Τελειοι (Πυθαγορας)


οι τέλειοι

Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ πίστευε ότι ορισμένοι αριθμοί, όπως ο 6, πρέπει να θεωρούνται «τέλειοι». Τέλειος λέγεται  κάθε αριθμός ο  οποίος είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του. Ο 6 είναι ΤΕΛΕΙΟΣ διότι είναι ίσος με το άθροισμα των 1, 2 και 3 και οι 1,2,3 είναι οι τρεις διαιρέτες του (6=1+2+3) . Αυτό δεν συμβαίνει ούτε με τον 5, ούτε με τον 7 ούτε με τον 8 ούτε με κανένα άλλο μονοψήφιο. Για να βρούμε τον επόμενο τέλειο αριθμό χρειάζεται σχετική υπομονή  διότι επόμενος τέλειος είναι ο 28 = 1+2+4+7+14 . Εάν δε θελήσουμε να αναζητήσουμε τον επόμενο τέλειο αριθμό θα χρειαστεί μεγάλη υπομονή. Είναι ο αριθμός 496 . Όσο για τον επόμενο, εάν δεν βρούμε άλλον τρόπο για την αναζήτηση, ας το αφήσουμε καλύτερα.

Μια από τις ιδέες του Πυθαγόρα ήταν και ότι η τελειότητα σχετίζεται με τις δυνάμεις του 2.  Παρατήρησε δηλαδή ότι όλες οι δυνάμεις του αριθμού 2 αποτυγχάνουν μόλις στο να είναι τέλειοι αφού το άθροισμα των  διαιρετών τους είναι μικρότερο ΜΟΝΟ κατά μία μονάδα από τους ίδιους .



Ας δούμε τον   22 = 4   Διαιρέτες οι 1,2       Άθροισμα των διαιρετών = 3 

23 = 8             Διαιρέτες οι 1,2,4                     Άθροισμα των διαιρετών = 7

24 = 16             Διαιρέτες οι 1,2,4,8                     Άθροισμα των διαιρετών = 15

25 = 32            Διαιρέτες οι 1,2,4,8,16                     Άθροισμα των διαιρετών = 31

26 = 64            Διαιρέτες οι 1,2,4,8,16,32                     Άθροισμα των διαιρετών = 63


(Μέχρι τα 1952 ήταν γνωστοί μόνο 12 τέλειοι αριθμοί, όλοι άρτιοι, κι οι τρεις πρώτοι απ' αυτούς ήταν οι 6, 28 και 496. Η τελευταία πρόταση του Ένατου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη αποδεικνύει ότι όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι πάντοτε γινόμενο μιας δύναμης του 2 επί την επόμενη δύναμη του 2 μείον 1.
ητοι ο  2ν-1(2ν-1) είναι τέλειος αριθμός (για καποιες λιγες τιμες του ν). Οι τέλειοι αριθμοί που δίνονται από τον τύπο του Ευκλείδη είναι άρτιοι αριθμοί και ο Όϋλερ έχει αποδείξει ότι κάθε άρτιος τέλειος αριθμός πρέπει να έχει αυτή τη μορφή. Η ύπαρξη ή όχι περιττών τέλειων αριθμών είναι ένα από τα φημισμένα άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός μικρότερος του 10100.)
(Στα 1952, με τη βοήθεια του ψηφιακού υπολογιστή SWAC, ανακαλύφθηκαν πέντε ακόμα τέλειοι αριθμοί που αντιστοιχούν στις τιμές ν = 521, 607, 1279, 2203 και 2281 του τύπου του Ευκλείδη.)
6 = 21.(22-1 )              28 = 22.(23-1 )       496 = 24.(25-1 ) 

Μπορούμε τώρα να βρούμε τον – μετά τον 496 – αμέσως μεγαλύτερο τέλειο  αριθμό. Είναι ο  8128 = 26.(27-1)  . Στην εποχή μας, με τη βοήθεια των υπολογιστών, έχουμε βρει παραδείγματα τέλειων αριθμών με περισσότερα από 130.000 ψηφία.  Ο « 2216091.( 2216092-1) »  αποτελεί  ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα.


οι πρώτοι

Ο  « είναι «γινόμενο» του «2» και του «3», «γίνεται» από τον 2 και τον 3. Ο «30» «γίνεται»  από τον  2, τον 3 και τον 5, ενώ ο 17 «δεν γίνεται» από κάποιους  άλλους αριθμούς. Ο «17» είναι ΠΡΩΤΟΣ , όπως και ο 13, ο 5, ο 7 και ο 11 , όπως και κάθε ακέραιος που δεν έχει διαιρέτη εκτός φυσικά από τον εαυτό του και από τον 1. Οι ΠΡΩΤΟΙ είναι οι «δομικοί λίθοι» των (ακέραιων) αριθμών και αυτό είναι κάτι που το διέκριναν οι Έλληνες όταν διαπίστωσαν ότι κάθε αριθμός μπορεί να «γίνει» από πρώτους αριθμούς.

Όπως οι χημικοί αγωνίστηκαν να προσδιορίσουν τα βασικά στοιχεία της ύλης και κατέληξαν στα 92 διαφορετικά άτομα, οι Έλληνες μαθηματικοί έκαναν μια καλή αρχή  βλέποντας τους ΠΡΩΤΟΥΣ κάτι σαν « ΑΤΟΜΑ της ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ » σαν δομικούς δηλαδή λίθους όλων των αριθμών.

Ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί;  Εύκολη η απάντηση για τους «μικρούς» αριθμούς, δύσκολη έως αδύνατη για τους πολύ μεγάλους . Ας αρχίσουμε όμως από τους μικρούς. Κατ’ αρχήν κανένας πρώτος δεν μπορεί είναι άρτιος (εκτος του 2). Στην περιοχή των μονοψήφιων οι πρώτοι είναι τέσσερεις, ο 2, ο 3, ο 5 και ο 7. Στη δεύτερη δεκάδα είναι επίσης τέσσερεις, ο 11, ο 13, ο 17, ο 19 ενώ στην τρίτη δεκάδα είναι δυο, ο 23,  και ο 29 και στην τέταρτη ο 31, ο 37  και στην πέμπτη ο 41, ο 43 και ο 47. Στους πρώτους δηλαδή 50 ακέραιους οι ΠΡΩΤΟΙ είναι δεκαπέντε αριθμοί.

(Ο Ευκλείδης, στην πρόταση 20 του Βιβλίου IX των Στοιχείων του, απόδειξε ότι το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι άπειρο)

οι τριγωνικοί

Χρειάζεσαι τρία βότσαλα για να φτιάξεις ένα τρίγωνο

κι αν θες να φτιάξεις ένα μεγαλύτερο

έτσι που κάθε βότσαλο να ισαπέχει από τα

γειτονικά του χρειάζεσαι έξι, ενώ για ένα ακόμα

μεγαλύτερο θες δεκαπέντε.

Ουσιαστια ,ενας αριθμός ονομάζεται τριγωνικός όταν ισούται με το άθροισμα ορισμένων διαδοχικών ακεραίων αριθμών με πρώτο το 1. Για παράδειγμα:
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
21=1+2+3+4+5+6
28=1+2+3+4+5+6+7



Με τα ινδοαραβικά σύμβολα  είναι ο 3, ο 6, ο 10, ο 15, ο 21, ο 28, ο 36, ο 45, ο 55 . . . οι πανάρχαιοι τριγωνικοί αριθμοί.

Ο n - οστός τριγωνικός αριθμός δίνεται από τη σχέση:





Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας





Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου